পৃথিবীর সব মানুষের আয় সমান!!!!!!!!!!!!

জেনো নামের এক ফাজিল গ্রীক পন্ডিত ছিলেন যিনি অনেক প্যাঁচ লাগিয়ে গেছেন গণিতবিদদের মাথায়, জেনোর প্যারাডক্স নামে বিখ্যাত একটা গাণিতিক ফাজলামো (ম্যাথমেটিকাল ফ্যালাসি) আছে, যেখানে তিনি দাবী করেছেন যে, বজ্রগতির উসাইন বোল্টকে যদি আমার মতো নাদুস-নুদুস এক আরামপ্রিয় লোকের সাথে দৌড় প্রতিযোগিতায় নামিয়ে দেয়া হয় এই শর্তে যে আমার স্টার্টলাইন বোল্টের চেয়ে ধরুন মিটার দশেক সামনে হবে, তাহলে নাকি বোল্ট আর কোনদিন আমাকে অতিক্রম করতে পারবেনা!

এরকমই আরেকটি গাণিতিক ফাজলামো উপরের শিরোনামের অনুসিদ্ধান্তটি, যেখানে দাবী করা হচ্ছে যে পৃথিবীর সব মানুষের আয় যে সমান, তা নাকি অংক(মানে গণিত আর কি) দিয়ে প্রমাণ করা যায়।

এই ফাজলামোর ঝামেলাটা ঠিক কোথায়, সেটা বোঝা কষ্টের, আর সেজন্যই একটু মজার।

এই ফাজলামোটা বুঝতে হলে একটু গণিত নিয়ে পড়াশোনা করতে হবে, ঘাবড়াবেননা, একদমই কঠিন না। গণিতের সূত্রগুলোকে নানান পদ্ধতিতে প্রমাণ করা যায়, এর মধ্যে এযাবৎ আমার কাছে সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি বলে যেটাকে মনে হয়েছে সেটা হলো ম্যাথমেটিকাল ইন্ডাকশন (গাণিতিক আরোহ)। যারা ইন্ডাকশন সম্পর্কে জানেননা তারা সবশেষে ইটালিক অংশটি আগে পড়ে নিতে পারেন।

মোটা দাগে বললে ইন্ডাকশনের মাধ্যমে সিরিজের প্রমাণ যায় সহজে। এখানে একটা সূত্র প্রমাণ করতে হলে যা করতে হবে তা হলো,
১। প্রথমে প্রাথমিক মানের (যেমন ধরুন ১ ) জন্য সূত্রটা প্রমাণ করতে হবে যোগ বিয়োগ করে।
২। তারপর যে কোন সংখ্যা k এর জন্য সূত্রটা সঠিক এটা ধরে নিতে হবে, এটা এ্যাসাম্পশন।
৩। (২)কে ব্যবহার করে দেখাতে হবে যে k এর জন্য সূত্রটি সঠিক হলে (k+১) এর জন্যও সেটা সঠিক হবে।
তিনটা কাজ মাত্র, সব শেষ!প্রমাণ হয়ে গেলো!!

সব মানুষের আয় সমান -- ইন্ডাকশন পদ্ধতিতে এই থিওরীর প্রমাণ।

পৃথিবীতে মানুষের সংখ্যা যেহেতু পজিটিভ পূর্ণসংখ্যা, তাই প্রথমে আমরা দেখবো এর প্রাথমিক মান ১ জন মানুষের জন্য থিওরীটি খাটে কিনা। পৃথিবীতে একজন মাত্র মানুষ থাকলে এটা এমনিতেই প্রমাণিত যে এখানকার সবার আয় সমান।

এখন ধরলাম কোথাও যদি মোট k জন মানুষ থাকে, তাহলে সবার আয়ই সমান হবে। এটাই এ্যাসাম্পশন।

এখন আসুন k + ১ এর বেলা এটা প্রমাণ করা যায় কিনা।
ধরুন পৃথিবীতে k + ১ জন মানুষ আছে, এবং এদের মধ্য থেকে জনাব "ক" কে (যে কেউ হতে পারেন এই জনাব "ক") বাদ দিয়ে বাকীদের হিসাব আমরা করবো। তখন মোট মানুষের সংখ্যা হয়ে যাচ্ছে k জন, আমরা উপরে ধরে নিয়েছি যে যখনই কোথাও k জন মানুষ থাকবে, তাদের সবার আয় সমান হবে। কাজেই"ক" বাদে বাকী সবার আয় সমান।

এখন আসুন আবার ঐ k + ১ জন থেকে জনাব "খ" কে ("ক" ছাড়া যে কেউ হতে পারেন) বাদ দিয়ে বাকী সবার হিসেব করি। আবারও মোট জনসংখ্যা k হয়ে যাচ্ছে এবং আমাদের এ্যাসাম্পশন অনুযায়ী এদের সবার আয় সমান।

এখন আসুন আমরা আবারও ঐ k + ১ জন থেকে জনাব "গ" কে ("ক" এবং "খ" ছাড়া যে কেউ হতে পারেন) এর কথা ভাবি। উপরের দুই প্যারা থেকে বলা যায় যে, "ক" এর আয় "গ" এর আয়ের সমান, আবার "খ" য়ের আয়ও "গ" এর আয়ের সমান। অতএব মোট k + ১ জনের বেলায়ও সবার আয় সমান -- এটা প্রমাণ হলো।

আমরা দেখালাম ১ জনের বেলা থিওরিটি সঠিক, তারপর k জনের বেলায় এটিকে সঠিক ধরে দেখালাম যে k + ১ জনের বেলায়ও এটি সঠিক হয়। মানে একজনের বেলা সঠিক হলে ২ জনের বেলায়ও সঠিক হবে, আবার ২ জনের বেলা সঠিক হলে ৩ জনের বেলায়ও সঠিক হবে, এভাবে যতদূর যাবেন সবার আয় সমান!

অতএব ইন্ডাকশন পদ্ধতিতে প্রমাণিত হলো যে
পৃথিবীর সব মানুষের আয় সমান!!

আহ! ভাবতেই ভালো লাগছে, বিল গেটসের এ্যাকাউন্টের ঐ বিশাল অংকটা গাণিতিকভাবে ভুলভাল কিছু!

****************************************************
****************************************************
সহজে ইন্ডাকশন পদ্ধতিটা ব্যাখ্যার চেষ্টা করি।

ধরুন আপনাকে প্রমাণ করতে হবে ১ থেকে n (এটা হলো যেকোন পজিটিভ পূর্ণসংখ্যা) পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল n*(n+1)/২।
মানে প্রমাণ করতে হবে যে,
১ + ২ + ৩ + ... ... + n = n*(n+1)/২

ইন্ডাকশন পদ্ধতিতে আপনাকে যেটা করতে হবে তা হলো, প্রথমে ১ এর জন্য দেখাবেন যে উপরের সূত্রটা ঠিক। মানে n = ১ ধরলে, ১ থেকে ১ এর যোগফল হলো ১, এবং দেখুন n*(n+১)/২ = ১*(১+১)/২ = ১।

তারপর অবশ্য ২, ৩, ৪, ... এরকম লাইন ধরে সব সংখ্যার জন্য হিসেব করতে হবেনা, সূতরাং রিলাক্স করুন।

যেটা করতে হবে তা হলো, এখন আপনি ধরে নেবেন যে যেকোন পজিটিভ পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা k এর জন্য, উপরের প্রমাণিতব্য বক্তব্যটি সঠিক। ধরে নিলেই চলবে, মানে আপনি নির্দ্বিধায় বলে দিন যে,
১ + ২ + ৩ + ... ... + k = k*(k+১)/২ ... ... (১)

এখন আপনাকে প্রমাণ করতে হবে যে k এর জন্য সত্য হলে সূত্রটি k+১ এর জন্যও সত্য হবে, ব্যস, তাহলেই ইন্ডাকশন পদ্ধতিতে আপনার প্রমাণ শেষ। এখন আসুন ১ থেকে k +১ পর্যন্ত যোগ করে দেখি কি হয়!

১ + ২ + ৩ + ... ... + k + (k + ১)
= (১ + ২ + ৩ + ... ... + k) + (k + ১)
= k*(k+১)/২ + (k + ১) [(১) নং থেকে]
= (k^২ + ৩*k + ২)/২
=(k + ১) (k +১ +১)/২
(এখানে একটু উৎপাদকে বিশ্লেষণ মনে করতে হবে)

তো দেখা গেল যে যেকোন পজিটিভ পূর্ণসংখ্যা k এর জন্য যদি সূত্রটা সঠিক হয়, তাহলে এরপরের পজিটিভ পূর্ণসংখ্যা (k+১) এর জন্যও সেটা সঠিক হবে।

এখন মনে করুন, প্রথমে আমরা দেখিয়েছিলাম যে ১ এর জন্য সূত্রটা সঠিক। প্রশ্ন জেগেছিলো নিশ্চয়ই, কেন হুদাই ১ এর জন্য প্রমাণ করতে হলো!
কিন্তু এখন দেখুন, আমরা বলতে পারি যে ১ এর জন্য যেহেতউ সূত্রটা সঠিক, তাই উপরের k আর(k+১) বিষয়টক প্রমাণ অনুযায়ী (১+১)= ২ এর জন্যও সূত্রটা সঠিক।
আবার যেহেতু ২ এর জন্য সূত্রটা সঠিক, তাই উপরের প্রমাণ অনুযায়ী (২ + ১) = ৩ এর জন্যও সেটা সঠিক হবে।
এভাবে যতবার ইচ্ছা ১ যোগ করে পরের সংখ্যার জন্য সূত্রটা সঠিক এইকথা আরামসে বলা যায়।

এই হলো ইন্ডাকশনের মজা। সিরিজের প্রমাণগুলো ইন্ডাকশন দিয়ে সহজে করা যায়।
(সহজে ব্যাখ্যা করতে গিয়ে কঠিন করে ফেললাম?)